Názvy obrazů

Jaké názvy dávat svým obrazům je problém, který mi už dlouhou dobu leží na srdci. Do nedávna jsem byl zastáncem toho, nevymýšlet názvy vůbec. Měl jsem za to, že na obraz se má z principu dívat, že kontakt s ním přes zrak je nejpřirozenější, že automaticky či nešikovně zvolený název často oddálí obraz od diváka a s vysokou pravděpodobností kazí či blokuje zážitek. Měl jsem za to, že štítek s názvem a plno informacemi může být svým způsobem muzeální přežitek. S časem se moje stanovisko trochu zrálo a mírnilo se, a teď si myslím, že dobrých důvodů, proč by obraz měl mít název je mnoho. Nejdůležitější je, když existuje pro to důvod; když zkrátka za tím vězí koncepční či umělecký záměr, nemám s tím problém, naopak poměrně si toho cením. I když možná bych byl nejspokojenější, kdyby galerijní provoz obešel bez cedulek a názvů, a ty se používaly jen opravdu s dobrým důvodem, nejlépe jako součástí konceptu. Nicméně se musí přiznat, že název často pomůže divákovi se orientovat v obraze. Druhý pro mě důležitý moment je, když název dává možnost odkázat se na obraz jednoduchým a explicitním způsobem, o něm mluvit a psát bez potenciálně nepřesných a dlouhých popisů. Nejtrapnější ukázkou vytvoření názvů mermomocí je varianta "bez názvu".

V důsledku takových uvažování jsem si umanul, že moje obrazy dostanou názvy, které by byly sice poměrně nic neříkající a významově víceméně neutrální ale zároveň zbaveny trapnosti názvu "bez názvu". Nejdřív se zdálo jako dobrý nápad jim prostě dávat čísla podle pořadí, ve kterém vznikají, takže první obraz od nějakého arbitrárního časového bodu by se nazval "1" a ten 233. v pořadí by nesl název "233", ale to se mi zdálo příliš "nalajnovaně". Nakonec jsem se usadil na myšlence dát jim náhodně generované názvy.

K tomuto účelu jsem vytvořil malý javascriptový program, který generuje řetězce o maximální délku 5 znaků. Ty jsou vytahané z UTF-8 souboru znaků, který je standardem v HTML5, a užívám v základním nastavění jen prvních 127 znaků, ale často bez prvních 47. Důležitou roli hraje znak s numerickým kódem 32, takzvaný "bílý znak", jinak řečeno mezera. Spousta znaků se chová jako bílý znak z technických důvodu, i když formálně jím nění, což znamená, že pravděpodobnost, že se v řětězci objeví mezera je větší, než by se normálně dalo předpokládat, kdyby se takto choval jen jeden znak. Prográmek umožňuje 8 stylů řetězců:

1) Generuje znaky dokud nevygeneruje pět znaků jakéhokoliv typu nebo dokud nevygeneruje "bílý znak". V tom případě všechny následující znaky v řetězci budou také bílými. To nám dává hezké kompaktní slůvko bez mezer v sobě. Někdy program generuje jako první znak v řetězci přirozeně bílý znak a v tom případě dostaneme, z hoře uvedených důvodů, prázdný řetězec. Programově jsem zvýšil pravděpodobnost, že se vygeneruje bílý znak desetkrát proti normálu. Používají se všech prvních 127 znaků souboru.

2) To samé jako v 1), ale používá se jen prvních 90 znaků.

3) To samé jako v 2) s omezením na velká písmenka a čísla.

4) Generuje řetězec podobně jako v 3), přičemž bílý znaky se mohou nacházet také uvnitř vygenerovaných "slov".

5) Generuje se řetezec skládající se z 5 čísel a velkých písmen bez mezer.

6) Generuje se řetězec skládající z jakýchkoliv z prvních 127 znaků v souboru UTF-8, není navýšována pravděpodobnost výskytu bílého znaku, a generováíní nekončí po jeho vygenerování.

7) Podobně jako 6) ale používá se prvních 90.

8) Jako 1) ale používají se jen velká písmenka.

Možných stylů existuje nespočet, nahoře uvedené mi zatím stačí.

Program generuje dvě řádky textu. Horní obsahuje nahodilý řetězec, dolní jsou numerické UTF-8 kódy. V UTF-8 je každému znaku přiřazeno číslo. Seznam uvidíte zde.

Prográmek si můžete tady vyzkoušet:

Styl 1 Styl 2 Styl 3 Styl 4 Styl 5 Styl 6 Styl 7 Styl 8

Například tenhle obraz by mohl dostat nový název: EAJA

Mohl se jmenovat třeba Černá auta a panelaky za noci. Problém s tím je, že kdokoliv se na obraz podívá to už ví, absolutně nic tím obrazu nepřidáme. Je to definice kruhem či tautologie, která mi připadá zbytečné. Vážnější problém spočívá v tom, že jakmile vedle obrazu přicvakneme cedulku s názvem a ta žádné podstatné nové informace vyskytuje, jsme se přeorientovali na jazyk a oddálili se od normálního dívání se na obraz. Mnohokrát jsem si udělal tu zkušenost, i když nevím nakolik je obecná (domnívám se, že poměrně obecná je), že jsem se v galerii koukal na cedulky ze strachu abych nepřišel o důležité informace a nevěnoval se obrazu. Ze zklamání, že na cedulce většinou nic moc zajímavého není, jsem často odkráčel k vedlejšímu obrazu z frustrace, aniž bych si ten první pořádně prohlížel, což poněkud zmaří důvod proč jsem do té galerie šel, páč takhle přemýšlím víc o cedulkách a jimi obsažených informacích než na obrazy. Jako dítě si nepamutuju, že bych koukal na cedulky, to jsem hltal obrazy, a měl jsem silné zážitky.

Docela vážně přemýšlím o tom, že všechny moje obrazy dostanou nové generované názvy, kromě těch, kde konkrétnější název můžu odůvodnit nebo se stane součástí umění, poukazuje na něco, co považuji za důležité na obraze.

V dobách, než jsem se ještě nenaučil nevěnovat přílišnou pozornost cedulkám v galeriích mě to zahnalo k nepřičetnosti. Je to už tak poměrně těžké se dívat na obraz, data o obrazu se někdy stávají zbytečným svodem. Teď to neberu až tak vážně, jsem se naučil dívat spíš na skvosty, kterými jsou obrazy a neprožívat tak cedulku, koukat se na ni jen když mě to opravdu zajímá, nebo jen letmo. Ale musel jsem se vytrénovat. Ne každému divákovi to napadá, že by z obrazů mohl dostat víc, kdyby se nevěnoval tolik názvu. I přesto, že mě cedulka někdy svádí a musím se jí trochu bránit, kouká se mi teď líp na obrazy, mám více času a klidu, když se nemusím věnovat cedulkám. Nicméně bych byl rád, kdyby bezradnost názvů "bez názvu" nebyla tak rozšířena.

Myslím, že nahodilé, ale nicméně aspoň minimálně zajímavé názvy jsou jedným z možných řešení.

Dva druhy rotace

Známá sinusová křivka má co do činění s rotací, s kružnicí. Je to grafické dítě sinusu, jenž je záležitostí prostou; definuje ho poměr protilehlé odvěsny a přepony pravoúhlého trojúhelníku.

Pravoúhelné trojúhelníky se objevují všude tam, kde jsou kruhy a kružnice, protože poloměr každého kruhu je také přeponou pravoúhelného trojúhelníku.

Sinusová funkce sleduje jak se hodnota sinusu mění, když kroužímě kolem obvodu kružnice.

Existuje ale jiné způsoby, jak se pohybovat do kruhu na rovině. Potřebujeme se vybavít komplexní rovinou. Na ní můžeme velmi lehce a intuitivně kroužit a dokonce pohyb do spirály je hračkou. Dá se po ní také cestovat lineárně.

Nejednodušším příkladem takového pohybu je podél takzvaného jednotkové kružnice (kružnice, která má poloměr 1 na komplexní rovině, protíná osy v pozicích 1, i, -1 a -i).

Tahle rotace nám mimochodem vysvětlí, proč číslo i funguje, proč se i² rovná -1.

1 krát i je 1i. Sledujte pohyb. Začínáme na 1 na ose reálných čísel, točímě se po rovině dokud nepotkáme číslo i, které leží na (svislé) ose imaginárních čísel, a tím je součin dokonán. Z toho můžeme usoudit, že násobení s číslem i jako činitelem otočí naši pozici o 90 stupňů (zvyklost velí, že se točíme ve směru proti hodinovým ručičkám; násobení krát -i nás otočí ve směru ručiček). Až se pak budeme chtít dostat na bod -1, stačí znovu znásobit o i, čímž pádem rotujeme o 90 stupňů a dostaneme se tam kam chceme, tj. na pozici -1 na vodorovné ose. To názorně ukazuje, že 1 krát i krát i je -1, nebo jinými slovy, dostaneme to zázračné:

Jinak řečeno, točit se v systému 1+1 vypadá jako sinusová nebo také kosinusová či tangenciální křivka, podle toho jak pohyb změříme.

Rotace je ale pro komplexní plochu přirozenou vlastností a nemusíme do ní ani příliš šťouchnout, aby nám takový pohyb poskytla. Ten navíc opravdu prochází plochou, neděje se jen na osách. Na rovině se nám dostává flexibility, kterou bychom marně hledali v systému rozměrů 1+1.

Sinusové funkce můžeme samozřejmě také znázornit v soustavě komplexních rovin. Museli bychom používat místo dvou os dvě roviny, každá mající dvě dimenze, čímž pádem dostaneme systém o dimenze 2+2, což je zkrátka soustava čtyřdimenzionální. Na její zobrazení bychom proto ideálně potřebovali čtyřdimenzionální prostor, ale dá se také, s určitými kompromisy svést s jenom dvěma dimenzemi.

Sinusový pohyb a otočení pomocí čísla i nejsou ani tak nesourodé principy, jak by se mohlo zdát. Spojuje je totiž Eulerův vzorec:

e^ix= cos x + i sin x

Číslo i zkrátka mnoho jevů propojuje. Provazuje kružnice, otočení na rovině, trojúhelníky (kvůli vazbě sinusu, cosinusu a arctangensu na trojúhelník), otevřené a uzavřené spirály, polynomy, exponenciální růst (číslo e) a pythagorejskou větu. Je to svým způsobem korunou algebry a vazivem roviny.

Číslo i a jeho dobrodružství

Číselná osa je velmi intuitivní věc. Část představy o ní vzniká ve školních lavicích a už dávno začalo zřejmě být přirozené takto přemýšlet o číslech. Je to ale vlastně všechno dost záhadné. Protože nic jako číselná osa v jistém smyslu neexistuje, a pokud existuje, tak spíš hlavně v naších představách. Nicméně je to dobrý způsob, jak čísla uspořádat, a existují jěště další taková mapování umožňující nové vhledy, jak ještě uvidíme. Mysl skvěle vytváří pojmy a obrazy, a v hlavě nosíme hodně koncepcí včetně těch co se zabývají čísly. Představuji si to jako mrakovitou strukturu propojující různé pojmy a dojmy, ale zas je to jen moje představa, jde o skutčnost, kterou by se dala označit jako "vnitřní". Některé z matematických pojmů můžeme "navěsit" na čáru, kterou můžeme například nakreslit na papír nebo na tabuli. Bude se tam skvít, aniž by v podstatě o svoji nevinnost přišla. Je stále linkou, ale pro nás už představuje něco jiného.

Stala se něčím jiným mocí naší představivosti^[1]. Už se na ni můžeme dívat a podél ní rozprostřít čísla, a tím je zkonkretizovat. Takže z mračna pojmů si čísla vyberme a navěsme je na osu. Můžu jí připíchnout nulu, hezky vprostřed:  A pak se dají přicvakat aspoň pár málo negativních a pozitivních celých čísel: Představuje to celé univerzum čísel, kde najdeme pestrou škálu různých druhů: negativní a pozitivní čísla, nula, z níž v naších představách osa vystřeluje na obě strany, celá čísla i zlomky se na ní nacházejí vedle iracionálních čísel (které nelze vyjádřit zlomkem). Lze je sčítat, odečítat, násobit, dělit, umocňovat a odmocňovat, přičemž se pokaždé danné číslo přetransformuje. Početní výkon si můžeme představit tak, že jeho aplikací se posouváme po ose: začínáme-li na určitém bodě osy (s nějakou číselnou hodnotou), objevíme se znova po početním výkonu buď na jiném nebo potenciálně také na stejném místě či místech, nicméně někde podél nekonečné osy. Jak ještě uvidíme, je možné se objevit také v jiných dimenzích.

Pro určité jevy není na číselné ose místo. I kdybychom ji zkoumali co nejpodrobněji po celou věčnost, minimálně jednomu zvláštnímu typu čísel bychom nikdy nepřišli na kloub, protože s jednou dimenzí si nevystačí, jsou zkrátka dvojdimenzionální. Nelze je, s určitými výjímkami, vměstnat na pouze jednodimenzionální přímku^[2]. Tímto zprvu problematickým typem čísel, jejichž genialitu zjišťujeme až posléze jsou odmocniny negativních čísel. Dlouho se pídilo po čísle, které by nám umožnilo vyřešit například odmocninu z -1 (tj. jaké číslo krát sebe nám dá -1). Zdánlivě to nedává žádný smysl. Není to -1 krát -1, ani 1 krát 1, ani -1 krát 1 protože tyhle součiny se rovnají vždy 1. Nebylo jasné, kde by člověk takové číslo hledal, ani jak by chápal hodnotu odmocniny libovolného jiného negativního čísla, například -767. A protože se taková čísla zřejmě ani nedalo najít na dosud používané číselné ose, nešlo to jinak než otevřít průzor do nové dimenze. Osa, která od starodávna byla bezpečným domovem všech známých čísel, se musela rozcházet do šíří, či chcete-li, když je znázorněna na monitoru, směrem dolů do hlubin a nahoru do výšky. Najednou místo nekonečně dlouhé lineární dimenze vzniká nekonečně široká a dlouhá rovina (říká se jí komplexní rovina), na které už hodnoty jakékoliv odmocniny najdeme, včetně těch negativních čísel. Působí to, jako by odmocniny negativních čísel byly něco jako tajemná dvířka z Alenčiny říše divů.

Takže se nám rýsuje situace, kde máme minimálně dva typy dvoudimenzionálních grafů. Ten běžnější, na který jsme zvyklí z obyčejného života je liniový graf funkce. Sem patří ku příkladu grafiky sinusových křivek, parabol, hyperbol; zkrátka grafy funkcí s dvěma proměnnými.

Tím druhým typem, který operuje s dvěma dimenzemi a proto také má vztah k ploše, je graf na komplexní rovině. Podotýkám, že je to osa, samotná nádoba na čísla, která se rozšiřuje a místo osy, která táhne ve dvou směrech ale má dimenzi jednu, najednou dostáváme číselnou plochu, která se roztahuje do čtyř kardinálních směrů a má dimenze dvě, a to je na tom to úžasné! Zkusím poukázat na podobnosti obou systémů a rozdíly mezi nimi.

Začněme s běžnějším typem grafu, liniovým. Relativně familiární jsou grafy se svislou osou y a vodorovnou x, o nichž jsme mohli nabýt dojmu, že jde o dvoudimenzionální systémy. Nemusí to ale být úplně pravda. Budu argumentovat, že jde spíš o graf ve formě 1+1; ten sice dvě dimenze obsahuje, jsou ale od sebe oddělené a čísla „žijí“ proto jen na osách a už ne na pseudo-ploše či ne-dimenzi mezi nimi. Tam se jen potkávají. Jinak řečeno, v kvadrantech mezi osami se nenachází nová, unikátní čísla, jsou tam jen souřadnice, což jsou vlastně takové malé seznamy obsahující dvě čísla, které poukazují na body, které se nachážejí na osách. Kdybychom osy umístili na ležato nad sebou, byly by jen prosté čáry k nimž se dají přiřazovat čísla. Až ve chvíli když se osy překřižují získáme systém vhodný pro onen obvyklý jednoduchý graf, jaký ho známe. Chování funkce se zobrazuje vprostřed mezi přímkami a nabývá většinou formy další linie. Vznikají mj. útvary jako vlny (sinusoidy), paraboly, rovné linie. Vezměme třeba jednoduchou rovnici (či-li funkci):

Ta nám umožňuje nakreslit parabolu. Pro každou hodnotu x, kterou nafutrujeme do funkce, dostaneme hodnotu nebo hodnoty pro y, a tento vztah mezi hodnotami pro x a y můžeme znázornit tím, že označíme bod či body kde se tyto hodnoty na rovině potkají. Dalo by se říct, že se jedná o znázornění systému vstupů a výstupů. Je to užitečné, když chceme zjišťovat jak jedna množina bude reagovat na děj odehrávající se v jiné množině.

Funkce je jako malý stroj, zpracuje hodnotu a vyplivne jinou nebo jiné jako pozici na ose y. Dole vidíme graf, kde pro každou hodnotu x v určitém malém rozsahu od – 4 do 4, dostaneme nějakou y kterou pak označujeme bodem. Kdybychom posléze otestovali dostatečné množství zlomkových bodů mezi celočíselnými hodnotami pro x by se nám body vizuálně skládaly a graf by se přibližoval úzké parabole.

Existuje ale opravdu dvojdimenzionální prostor, rovina, kde by každý bod také byl ojedinělým číslem; prostor s dvěma integrovanými dimenzemi, ne jen s dvěma překříženými ale stále oddělenými? Rovina, po níž bychom se mohli ledajak volně pohybovat, změnit směr, rotovat? Existuje! A je to krásná a záhadná věc, která rozšiří naše představy o číslech.

Takové rovině se říká komplexní. Už jsem v tomto článku psal o nemožnosti nacházet hodnoty odmocnin negativních čísel běžným způsobem uvažování (například √-1 nebo √-258, tzn. hodnoty, jejíchž umocněním na druhou bychom dostali -1, respektive -258). Vyřešení takových problémů umožnilo až nový typ čísel, takzvaných komplexních, která byla přijata jen se značnou nevolí. Nejjednodušší základní jednotka komplexních čísel je samotné i, které je v komplexním poli jakousi krásnou, lapidární a možná ze začátku záhadnou obdobou 1. Jinak řečeno, na komplexní rovině se i chová jako jakási vertikální jednička, přičemž 1 je horizontální, její vliv je ve vodorovném směru.

Komplexní číslo má dvě části, a proto můžeme o něm přemýšlet jako o svým způsobem dvoudimenzionálním objektu. Jeho částem se říkají reálná a imaginární. Skládá se jinými slovy z imaginárního čísla a reálného čísla. Imaginární částm i když vypadá exotická, se chová podobně jako ta naše běžná čísla, kterým matematici říkají reálná, a která vznikají násobením, či-li na základě, jednotky 1 (5 je 5 krát 1; 46 je 46 krát 1). Čísla na imaginární ose (tj. imaginární čísla) vznikají obdobně, na základě imaginární jednotky i , pro které platí to tajemné i ² = -1 Celá čísla na ose imaginárních čísel mají podobu, když počítáme například od nuly do tři-i po celočíselných krocích: 0i, 1i, 2i, 3i, kde ku příkladu 3i je 3 krát i. Když se člověk na ně zvykne nejsou o moc zvláštnější než naše familiární čísla na základě 1. Teprve komplexní čísla, složená z obou částí, se chovají trochu jinak. Části se používají na zobrazení bodů na komplexní rovině. Imaginární část představuje dle zvyklosti jeho vertikální složku a reálná jeho horizontální. I když si dovedu představit jiné normy zápisu, píše se to ve složené formě a má to dobré důvody.

Příkladem budiž komplexní číslo 4+3i. Tím je myšleno číslo, které se nachází 4 čísla v pozitivním směru od nulového bodu či „počátku“ roviny (zvyklost velí, že to znamená napravo od něj) a 3 čísla směrem nahoru podle imaginární, tedy svislé osy (pozitivní imaginární čísla se nachází dle zvyklosti směrem nahoru od osy). Nejde tu ale o souřadnici ve stejném smyslu jako na obyčejném grafu. Jde o integrované, unikátní číslo, individuum ve společenství čísel. Tady se stáváme svědky použití ploch (například konkrétně papíru, tabule či monitoru) pro zobrazení různých, ač lehce příbuzných systémů. Příklad komplexní roviny vychází krásným způsobem ze systému kartézských souřadnic, ale jde dál, umožňuje více, a kompaktněji, často s působivou elegancí. Obyčejné kartézské soustavě říkávám kosti, teprve komplexní rovina k němu přidá maso. Dole na obrázku s mandelbrotovou množinou uvidíte par příkladů komplexních čísel a jejích umístění na komplexní rovině.

Všimněte si, že i když se na číselné lince nachází nekonečno čísel, komplexní rovina je zřejmě mnohem větší, obsahuje snad vetší nekonečno čísel. Není úžasné, že proklouznutím tajnými dveřmi odmocnin negativních čísel je člověku umožněno pohlížet na mnohem širší krajinu čísel, která expanduje do plochy, a kde jich žije o tolik více?

Komplexní rovina má, stejně jako kartézská soustava, dvě osy. Tenkrát ale na vodorovné jsou reálná čísla (počítací čísla a jiná takto familiární). Na svislé nacházíme imaginární čísla. Všimněte si subtilních rozdílů od grafu 1+1, který jsem popsal nahoře. Ten má také dvě osy, ale každá obsahuje stejnou množinu čísel (od minus věčnost k věčnosti). Naopak, na komplexní rovině obsahuje každá osa jiný druh čísel. Zkrátka každý její bod je unikátní a nevyskytuje se už nikde jinde. U grafů funkcí v kartézské soustavě s dvěma osami se každé číslo objevuje dvakrát, jednou na ose x a jednou na y. Čára se rozšířila a stala se plochou. Zázrak! Motýl se vykuklil:

Všimneme si pár názvů: nula, negativní čísla, imaginární jednotka. Z toho je cítit nedůvěra, s jakou lidé odedávna přistoupili k novým, exotickým typům čísel; k těm, která prohloubila svět těch jednoduchých počítacích. Lidé mívali tendenci pochybovat, jestli tato nová čísla vůbec existují a jestli se s nimi dá rozumně pracovat. Nejsou svým způsobem ale o nic imaginárnější než třeba nula, s kterou v klidu operuje spousta lidí každý den, a na které záleží ekonomika a techika; každý typ čísel umožňuje další výkony. Zvykli jsme se na většinu z nich, včetně nuly a negativních, a lze doufat, že v budoucnosti ta komplexní se stanou také familiárnějšími.

Zajímavé je si přečíst, co psali průkopníci těchto pojmů o svých pocitech. V 16. století se Italové hojně věnovali kvadratickým a kubickým funkcím, kde se odmocniny negativních čísel často objevují, a způsobilo to nejednomu matematikovi pořádný bolehlav. Příkladem budiž Cardano, který píše v roce 1545. Zjistil, že aby se dopracoval k řešení některých kubických rovnic musel vykonat určité matematické výkony a přitom byl nucen projít oblastí mimo dobře známá čísla, zkrátka mimo familiární mentální pole, které představuje číselná osa. Imaginární říkal číslům v této zóně. Možná to netušil, ale musel se odskočit do druhé dimenze. Cardano to mohl pochopit tak, že se musí procházet tajemnou temnou oblastí imaginárních, neexistujících čísel aby se vynořil zas v denním světle reálných čísel. Nevěda co o nich myslet, psal:

„Odmítaje podlehnout duševnímu trápení a 5 + √ - 15 znásobuje 5 - √-15, dostaneme 25 - (-15). Proto je součin 40.... až tak velice subtlilní je aritmetika, a tohle je toho nejzazším příkladem, jak jsem už řekl, tak subtilním, že je až neužitečné...“ ^[3]

Časem se zjistilo, že imaginární čísla opravdu existují stejně nebo podobně jako všecha ostatní čísla. Znamená to, že s nimi můžeme provádět matematické operace a pomocí modelů, které s nimi operují jsme schopni reflektovat dění v pozorovatelném světě. Mají také onu zvláštní charakteristiku čísel, že jakmile jsme je vymysleli čí snad objevili, počali se chovat podle svých vlastních pravidel, jako kdyby byla přírodním úkazem.

Plocha umožňuje zobrazit útvary a množiny, které se potřebují rozšířit do dvou celých dimenzí, jako například známá mandelbrotova množina. Ta zabírá, jak je zřejmé z obrázku dole, opravdu malé území na komplexní rovině, což bylo pro mě zjištění překvapivé.

Kdybychom ji chtěli zkoumat na lince reálných čísel, která tak dobře známe, by útvar nevypadal moc zajímavě. Viděli bychom jen úsek zahrnující všech reálných členů množiny (viz. dole). V jedné dimenzi pole není zkrátka možné, nanejvýš můžeme doufat v úsek či úseky. V tom tkví zajímavost komplexní roviny; ponořením se do ní je nám umožněno vidět hranici takových množin, a jejich tvary.

Mimochodem, pořadí čísel v komplexní rovině je zajímavé téma. Klasické pořadí v komplexní rovině už neexistuje, protože ta vyžaduje, aby každý prvek v pořadí se nacházel buď před nebo po jiném prvku, tudíž aby se dal napěchovat do jednodimenzionálního systému; jinými slovy, musíme být schopni je uspořádat do „lajny“, což už na ploše, s účastí všech čísel v ní obsažené, není možné . Mě ale napadá, že je rovině vlastní jakési expanzivní pořadí, kterému se říká absolutní hodnota (uvádějí se také názvy jako modul a jiné). Znamená to, že můžeme seřadit komplexní čísla do pořadí na základě jejich vzdálenosti od počátku (nulového bodu) soustavy souřadnic, a že to se rozšiřuje kruhovitě kolem do prostoru, přičemž každá kružnice obsahuje po jejím obvodu nekonečno drobných intervalů, tak jak je tomu na jakémkoliv úseku číselné osy, ale znamená to také, že u dvou čísel se stejným modulem (vzdáleností od centra plochy) bude jejích pořadí nejednozačné, pokud bychom si ovšem nevymysleli nějaké poměrně arbitrárné pravidlo předem, třeba že číslo blíže reálněosovému začátku kružnice protínající obě čísla budeme považovat za menší či pořadově před těmi co se nacházejí dále po obvodu kružnice proti směru hodinových ručiček). Nicméně lze usoudit, že pořadí na ploše je méně jasnou, ošemetnější záležitostí než na čáře, a že by mohlo mít co do činění s kružnicemi.

To co vidíme na obrazech typu mandelbrotova fraktálu jsou množiny. Když se ocítají na lince jsou to úseky, na rovině jsou to tvary. Kdybychom chtěli zobrazit funkci s dvěma komplexními proměnnými stejným způsobem jako na obyčejném liniovém grafu, potřebovali bychom k tomu graf 2+2, složený tedy z dvou komplexních rovin, kde body na jedním z nich jsou dány do vztahu s body na druhé rovině. Obdoba graf 1+1 by byl graf 2+2, ale jelikož má čtyři dimenze je problematické jej zobrazit v naších třech. Existují nicméně způsoby jak to vyřešit, třeba technikou vybarvení definičních oborů.

Důvod, proč mě číslo i a rovina komplexních čísel tak fascinuje, je mimo jiné i kvůli tomu, že svým chováním se blíží obrazu a dívání se na obraz více než obyčejný graf; komplexní rovina je pole polí a tvarů. Nepohrdá ale ani body a liniemi, protože systémy s větším počtem dimenzí mají tendencí zahrnovat také menší dimenze. Obvykle se omezíme na práci s číselnou osou, s přidáním komplexních dostaneme jich celou plochu. Komplexní rovina je obdobou číselné osy rozšířené do dvou dimenzí, kde kromě úseků existují také, lidově řečeno, tvary. Na linii cestujeme sem a tam, na ploše cestujeme po ploše. Růst na lince si můžeme představit jako růst úseku, délky či rozsahu. Růstem na komplexní rovině vznikne také tvar, plocha, rozloha, a různé zajímavé útvary jako jsou množiny s fraktální hranicí, kružnice a celou řadu zajímavých, elegantních a matematicky jednoduše vyjádřitelných spirál:

---

_{1 Podotýkám, že představa o ose je svým způsobem tak reálná jako fyzická čára, jen má svoje teritorium jinde, ve světě představ a ne objektů vně člověka; je víc „meta“. Mimochodem, charakteristická lineárnost linie existuje pravděpodobně částečně také jen v naších představách: pixelům je snad jedno jestli se rozsvítí zrovna jako linie, přitom určitým způsobem si můžeme říct, že vodě není jedno, že rýha, kudy teče v poli má, hrubě řečeno, podobu linie, protože ta ovlivňuje její tok; i když zase linie na monitoru může ovlivňovat lidi, kteří se na ni dívají.}

_{2 Ta co se na ose přece jen nacházejí mají nulovou imaginární část, jsou to ve výsledku naše běžná reálná čísla: čísly typu 4 + 0i, které vyjádřuje to samé jako naše obyčejná 4.}

_{3 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cardan.html}