Combining Pictures

One cell meets another: filigrane electric blip flashes - two fuse and there arises that which has two halves, or one whole heritage.

I often ponder various ways to combine pictures, compositions, concepts and narratives. So when one day I was thinking about how genes combine when a new life is formed (and realised I did not understand this in scientific detail), a seed was sown which got me thinking about whether the same procedure couldn't be applied to combining pictures. From the standpoint of science I knew that there are a number ways in which cells propagate; in eukaryotes these are called mitosis and meiosis. I knew that the former was the way in which cells generally divide; one cell splits into two and is copied exactly, resulting in two identical cells. In the latter, a phase of which is also called reductional division, however, only fifty percent of the cell’s genetic material remains in the resulting daughter cells. In this way, gametes, or reproductive cells, are formed. At the moment of conception, two of these combine, each carrying half the usual number of chromosomes. In fusing, they make up a full genetic set - and a new being. This reflection is interesting also in terms of pictures, since it leads to a way of combining them which avoids the loss of saturation so typical for this procedure, allowing a high retention of information (up to 50%) from the original pictures that went into making the fused one, as well as conserving the information's integrity.

Usually, when one fuses two pictures, it is done using some method by which they are really or virtually layered one over the other. Each layer is given a certain level of transparency and these are then combined. The resulting picture tends to be somewhat “pearly”, pale by comparison to the originals. As some painters would say, the colours have become muddy.

An analogy with conception and cell division offers an alternative combinatory possibility. This method, in contrast to the above described, allows colours to keep all their vibrancy. It is especially well suited to digital pictures, made up of discrete particles, which is to say: pixels, similarly to how chromosomes are comprised of discrete parts, genes. I have not seen this method being used anywhere.

The method I came up with after this inspiration works as follows: start with two digital pictures and in the same order and, in parallel fashion, two by two, go through their pixels. From every set of two pixels, i.e. one from each of the two pictures, those being in proper sequence, only one is selected. In this case, the choice is random and the unchosen pixel does not make it into the final set. One then continues with the next pair of pixels, and so on, until one comes to the end of the set (which can be defined in various ways, i.e. the area in which both pictures overlap, if they are of different sizes, or maybe the area of the first picture). After this, the chosen pixels are strung together again and the result is a picture formed to approximately fifty percent of one of the “parent” pictures and fifty of the other. In this analogy, pixels are like the genes of a picture, though this is not meant to be a precise analogy.

We can do various things which this procedure. For example, let’s take some ladies and gentleman, courtesy of Tizian. By the way, the program is available for use on my programs page: http://orourke.cz/programs/Pic_mater_1Cen.html

Combining these by twos, we get a new generation:

Combining some of this first generation, we get a second generation:

And a third generation picture (two second generational ones combined):

If we take a high-level picture, lets say from generation 3, and mix into it one from an earlier, features from the earlier one are markedly represented in the combined picture, as in the following image, which is the above third generation image with a second generation mixed in:

And with the first generation:

Intenzita barvy

Jak je intenzivní modrá barva mužova roucha na jedné středověké iluminaci (Obr. 1)! Zarazilo mě, že jsem nechápal jeho temnou luminiscenci, připomínající uhlík skrytý pod popelem. Barevná intenzita v tomto případě není daná světlostí (na obraze jsou světlejší místa); ale čím tedy? V čem se tato barva liší od jiných? Přitom podobné efekty se vidí poměrně často. Všiml jsem si dokonce, že vyhledávám tento typ temné syté barvy, spatřitelný v hlubinách gemy, v jiskře medu, v záři letního listí - dělá mi dobře a fascinuje.

Obr.1

Kromě světlosti lze operovat i s dalším parametrem: sytost barvy. Lze ji definovat jako vzdálenost od „dříku“ barevného prostoru obsahujícího bílou, černou a škálu neutrálních šedí (v kontrastu k „barevným“ šedím). Intenzita barvy podle tohoto parametru zkrátka měří, jak je od těch neutrálních vzdálená. Představme si, že jdeme po ulici v pozdním podzimu, všude kolem nás jsou jemné šedé a hnědé tóny, a najednou uvidíme výraznou zeleň neopadavého stromu nebo sytou barvu cihel, ale také tmavé odstíny některých kmenů, když mají v sobě hodně barvy, to jsou syté tóny. Mimochodem, výrazně tmavé, ale i světlé, barvy mají v sobě „málo použitelných informací“, ty první zmíněné z důvodu skromného objemu světla, které obsahují, ty druhé spíš z důvodu přesycení čidel (ať biologických nebo technických). Nejširší rozsah sytostních nuancí se nachází ve středové zóně daleko od extrémních poloh (černá, bílá). Proto bývá vzdálenost syté tmavé barvy od nesyté verze stejného odstínu v barevném prostoru menší než u odstínu se středním valérem, ale to je na další článek.

Napsal jsem program, který vybrabý digitální obraz přetransformuje do tří černobílých „map“ či obrazů, reflektujících jednak světlost (jako běžná černobílá fotografie), jednak sytost a jednak barevné odstíny. Obyčejná černobílá fotografie toto dělá ve vztahu ke světlosti, aniž bychom si museli být vědomi toho, natolik jsme si na ten koncept zvykli. Program nejprve data přemění do barevného prostoru CIELAB, pak je přetransformuje do formy, odkud lze vytáhnout parametrická data o valéru, sytosti a odstínu (CIELAB a jiné od něj odvozené systémy počítají na bází experimentálních dat s reálným nastavením lidského zraku, adekvátně tedy reflektují průměrné lidské vidění. Konkurující systém HCL (na bázi RGB) jej reflektuje méně přesně a je spíš konvencí vycházející ze standardů použitých v počítačových monitorech).

Běžná černobílá verze obrazu (Obr. 2) opravdu uspokojivou odpověď neposkytuje. Z ní můžeme usoudit, že valérově je roucho podobné zdi v pozadí obrazu – která ale v sobě nemá stejné niterní světlo – nebo některým stínům v zeleném rouše naproti stojícího muže. Nejvýraznější jsou světlejší tóny a také kontrastně ty nejtmavší. Obraz působí celkem homogenně.

Obr.2

Naopak černobílý obraz na základě sytosti (Obr. 3) odpověď tušit dává. Na něm jsou tmavšími tóny zachycené barvy méně syté, naopak ty sytější se jeví světlejšími. I když barva modrého roucha je tmavá dost, je rovněž poměrně sytá, jak lze zpozorovat na příslušném obraze. A v tom je řešení té záhady. Dá se říct, že tento typ barvy „s vnitřním ohněm“ tomuto popisu odpovídá – je poměrně tmavý ale také poměrně sytý. V tomto konkrétním případě se to dá rozebrat tak, že syté barvy slouží k „vypichování“ hlavních aktérů, tedy lidí a kohouta, a potlačení pozadí, „scény“. Dalo by se říct mnoho o vzájemných vazbách různých polí obrazu a celkového kompozičního schématu, ale to by bylo také na delší článek.

Obr.3

Další varianta (Obr. 4) mapuje barevné odstíny. Tu se jeví červený konec spektra v tmavších tonech, modré ,potažmo fialové odstíny jsou světlejší, zelená je prostřední šeď. Je vidět, jak z tohoto hlediska jsou bledě červené pilíře nad schodištěm kontrastní (i když ne tolik, jak to vypadá z obrazu; mapování vykazuje výraznou disjunkci právě na konci a začátku spektra) k jejich spíše nesytému modro-fialovému a tmavému pozadí, což obohacuje kompozici. Umění často pracuje s kontrasty. Mnou používaná analytická technika umožní takové kontrasty snáz prozkoumat. Úspěšné kompozice, které v nás působí hnutí mysli nebo citu, by bylo možné analyzovat tímto způsobem a rozluštit některá z jejich tajemství.

Obr.4

Co z toho vzít? Barva je minimálně trojdimenzionální systém. Ke kompletnímu popisu barvy nestačí jen údaj o odstínu (jestli je to neutrální, modrý, červený atd.), a valéru (relativní intenzita světla), ale také potřebujeme údaj o tom, jak intenzivní je samotný barevný vjem nehledě na předchozí údaje (jak daleko je od neutrálních barev).

Formát

Formát je zvláštní věc. Ve vztahu ke klasickému obrazu tím rozumíme rozměry, do kterých se vejde obsah. U digitálního obrazu vyskytuje se ještě další, i když přibuzný význam. Tím je míněn uřčitý soubor interpretačních pravidel, podle nichž jsou data nastrukturovaná. Můžeme celý proces rozebrat do několika vrstev:

– Lze předpokládat jakási samotná původní data, která generuje čidlo fotoaparátu v reakci na vnější vjemy (ale nejsou původnější pak data je formě reálného proudu vjemů ze světa? Kdy se stanou daty?). V každém případě ta ve stádiu, kdy jsou přetransformovaná do zde použitých formátů, jsou už uložením změněna, neexistují v původní formě.

– Z těch dat je utvořena datová konstrukce podle pravidel použitého formátu, která zkombinuje data s předem definovanou strukturou formátu.

– Tento datový artefakt je interpretován, kdykoliv ho otevřeme, a skládán do „digitálního obrazu“, na který se lze podivat v prostředí digitálního stroje.

Je to dost podobné jako s textem (možná kvůli určitým podobnostem mezi textem a daty v počítači):

– Máme nějakou myšlenku, spíš konglomerát pocitů a myšlenek a „duševních souřadnic“ v dost fluktující formě.

– Dochází k zapečení, formalizaci těchto vjemů do jazykové formy, posléze do textové formy dle pravidel jazyka. Něco se oseká, usměrní, vytvoří. Z určitého hlediska jde o ovlivňování, tvarování „jazykové materie“ externalizací myšlenkových struktur a procesů.

– Čtení tohoto konstruktu interpretací jazyka, což je nemožné, pokud nerozumíme použité abecedě a jazyku. Když, například, si prohlížíme text v jazyce, kterému nerozumíme, vzniká určitý dojem, ale jen povrchný. To je jako s digitálním obrazem, ze kterého vzniká šum použitím nevhodné interpretační struktury (formátu). Máme z toho dojem, ale vizuální informace to nejsou moc diferenciované.

To, k čemu směřuji, je, že digitální formát představuje svým způsobem nádobu pro data, která je umožňuje uchovat, interpretovat a měnit (třeba komprimovat, ukládat uživatelské zásahy v prostředí grafického editoru). Moje dnešní otázka je: Co se stane když přelijeme obsah z jednoho formátu do druhého bez adaptace?

Nejdřív jsem vytvořil černý obraz ve čtverečném formátu 300 × 300 pixelů, jako neutrální kontejner. Ten jsem uložil jako tiff:

Uložil jsem český a anglický text článků o Poussinovi z Wikipedie jako textové soubory (.txt). Ukládal jsem také dva jpegy připojené k článkům. Jsou to následující:

Otevřel jsem všechny soubory, jak textové, tak obrazové, v hex-editoru (použité kodování textu ASCII diakritka neinterpretuje, jsou ale diferencovaně obsazeny v hexadecimální části dat).

Zkopíroval, vlastně přepsal jsem věškerá data do kódu černého tiffového souboru, dbající na obyčejná pravidla při zápisu do tiffu (neposunout IFD, nepřepsat hlavičku).

Vznikl následující obrazový soubor (nahoře v původní velikosti, dole zvetšeně, aby se daly ocenit detaily):

Vzniklý artefakt bych popsal jako pásy šumu. Horní pás představuje česky psaný text, ten další, světlejší, jsou obrazová data přetažena z jpegu do tiffové “nádoby”, třetí pás tvoří data anglicky psaného textu, opět vloženého do prostředí obrazového souboru. Poslední blok obdobním způsobem obsahuje data druhého jpegového obrazu. Nicméně stačí krátký pohled, aby se zjistilo, že každé šumové pole není přesně jako druhé. I ze zdánlivé jednotvárnosti mozek ledacos „vypichuje“, ze šumu se vynoří tušení forem. Daří se mi uvidět v poli pixelů například sugesci dun či puklin, všímám si různé hustoty a „rytmu“ zrnění atd. Český text má větší množství pestrých pixelů, dává to dojem jiskření. Tyto odlišnosti by se daly čekat, protože data se od sebe přece jen liší. Spíš je pozoruhodné, jak data zavěšena do tiffového skeletu vydávají jen na poměrně podobné šumy. Je vidět, jak důležitá je organizace dat – data, zapečená do struktury, musí být správně dekódovaná, aby daly obraz a bylo možné je běžným způsobem smysluplně interpretovat. Ale právě tady je zajímavé sledovat, co naopak vznikne neběžnou interpretací dat jejich hybridizačním zkombinováním s nevhodnou interpretační úrovní. Byl bych nicméně úpřimně překvapen, kdyby byl výsledek větší organizační složitosti než šumu. Co zde tedy máme? Řekl bych, že je to něco jako artefakt. Těžko se mi tomu říká obraz - na to vznikl příliš jednoznačně přímou cestou z dat, má přiliš tenkou interpretační uroveň, bylo příliš málo do něj lidsky zasaženo. Takže, spíš artefakt vzniklý z provedených datových operací. Ale přece jen, nalitím do obrazového formátu, použitím kódování vhodného na obraz se ocítá aspoň na půli cestě k obraznosti a možná i dál. Co kdyby to obrazem bylo, třeba jen obrazem sebe sama? Jak je známo, v dnešní době je všechno obraz, co se za něj vydává. Možná stačí, aby tyto šumy, vzniklé z jinak interpretovaných dat, měly obrazový formát, vizuální podobu, a byly výsledkem určité intencionality, tzn. byly vytvořeny pro demonstraci nějakých principů, že docházelo k volbě dat, atd. Všimněme si něčeho, určité vnitřní rozpolcenosti, kterou aspoň já cítím, když přemýšlím o tom, jestli je tento artefakt obrazem nebo není: obraz je většinou něčeho. Když tyhle šumy jsou obrazem, tak čeho? Obrazem šumu? Není to ale jen sám o sobě čistý šum? Trochu jinak – je kůra stromu obrazem atomů, ze kterých sestává? Nebo je obrazem jen to, co vzniká lidskou rukou na podnět té kůry? Je to něco, na co nemám úplně odpověď. Možná je to také spíš otázka definice. Jsou tyto šumy „obrazem“ dat? Do jisté míry ano, i když nejsou jich právě moc „smysluplnými“ obrazy – tedy ty šumy nedávají tolik možnosti asociací a jaksi smysl jako texty z Wikipedie a Poussinovy obrazy, které (jejich reprodukce) se dají také složit ze zde použitých dat. Spíš o tom přemýšlím jako o obrazy, jejichž „smyslem“ je poukázat na jevy spojené s daty, šumy, formáty, interpretací dat a jejich skrýváním, atd. Je to experiment na základě otázky, co že vznikne hybridizací dat, určená k použití v jednom formátu, se strukturou jiného formátu.

Faktoriály, část třetí

Pár dalších příkladů.

Zkonstruujeme červený obraz o rozměru 10 krát 10 pixelů a určíme, že jeden z pixelů bude zelený.

Kolik možných obrazů vzejde z této formulace? Zadáním do vzorce:

100! (obraz má tolik pixelů) / 99! (99 červených) = 100.

Možných obrazů je zkrátka v tomto případě sto. Dá se to graficky dobře znázornit. Níže je uspořádaná daná stovka do metačtverce ve skutečné velikosti.

Samotné zelené pixely skoro nejsou vidět, proto obraz zvětšíme:

Dává to smysl! Zelený pixel postupně obsadí všechny možné pozice na červeném poli.

Další příklad: čtverec s 9 pixely, z nichž jeden je žlutý.

Možností jejich vzájemných kombinací je, jak už jsme schopni kalkulovat: 9! / 8! čili 362880 / 40320 = 9. Devět možností:

Udivuje mě, jak i tyto velmi bazální, jednoduché obrazy vypadají krásně, silně, dekorativně. Třeba v řadě tří po sobě jako kachle, mají něco do sebe.

Ale co když máme dva pixely s jinou barvou?

Začneme v tomto případě drobným porušením pravidel, ale uvidíte, pomůže nám to. Výsledek je symetrický a ukáže na zajímavé věci.

Použitý systém nebo algoritmus funguje tak, že vždy jeden ze žlutých pixelů zůstane na místě, druhý postupně obsadí všechny možné pozice z devíti. Pak se první pixel přesune o místo dále a druhý projde znovu stejným cyklem jako v minulém kole. Překryv obou pixelů je povolen (a v tom spočívá porušení pravidel: některé čtverce mají tak 8 fialových a 1 žlutý pixel, ne požadovaných 7 fialových a 2 žluté. Jakoby šlo v tomto systému primárně o žluté pixely, které byly prvky, které se dají složit jeden nad druhý. Dělám to tak proto, že vzniklý grafický systém je symetričtější a podle mě názornější. Stejně později vyřadíme nehodící se prvky).

Můžeme vyřadit (zde označíme světle šedou) čtverce, které nesplňují podmínku 9 pixelů, z nichž jsou dva žluté.

A pak zjistíme, že mnoho variací je dvakrát. Postupným vyřazením zbytečných čtverců (zde jejich překrýváním tmavou šedou) dostaneme následující obraz:

Sečteme zbylé, jedinečné čtverce: zjistíme, že je jich 36. A opravdu, odlišitelných kombinací je i podle vzorce 36:

9! / (2! × 7!) = 362880 / (2 × 5040) = 36.

Faktoriály, část druhá

Z logiky faktoriálů vyplývají významné důsledky pro pozici obrazu ve světe.

Vezměme si například takový digitální obrázek. To je vhodné, protože jeho kombinatorické možnosti jsou pixelizací přesně omezené, čistě definované a lépe kvantifikovatelné než tomu bývá u ručně vytvořeného díla (tam by to bylo možné jen za předpokladu, že bychom znali všechny možné kombinace použitých pigmentových, vazebných a podkladových molekul a nespočet jiných parametrů a ještě zadání omezili třeba maximální hustotou pigmentové vrstvy a rozměry podkladu. Zkrátka, to za dnešních podmínek možné asi není).

I pouhý digitální obraz o rozměrech 200 × 200 pixelů (jako ten šedý nahoře), celkově tedy o 40000 (v tomto případě šedých) pixelů, nabízí v maximální podobě (co pixel to jiná barva), ohromující počet kombinací ležící podle tabulky z minulého článku kdesi mezi 1,205703438…×10¹⁰⁰⁰⁰⁰ (faktoriál 25206!) a 8,4485731495…×10²⁰⁰⁰⁰¹ (faktoriál 47176!). Z toho lze vytušit, že jde o číslo s více než sto tisíci nulami. To je už opravdu hodně kombinací, zvlášť přihlédneme-li k tomu, že takový obrázek je opravdu jen mrňouskem v době holdující megapixelům. Jak to, že tak malé políčko nabízí tolik možných obsahů, by se mělo objasnit později, zároveň s tím, jak se počet rozlišitelných kombinací sníží, pokud více pixelů má barvu stejnou. V krajním případě, kdy všechny pixely jsou stejné barvy, je možný jen jeden jedinečný obraz. To je přesně případ toho, kterého jsme použili jako ilustraci –ať již šedé pixely zkombinujeme jakkoliv, vzniklý obraz zjevně zůstane vždy jen jednobarevným čtvercem; nebo jinými slovy: pokaždé dostaneme výsledek, který vypadá stejně.

Jestli chcete vidět číslo s 100000 nulami, klikněte zde. Ale pozor - může se vám z toho zatočit hlava. Nic si z toho nedělejte. Mě se to stalo také, zvykl jsem si a nyní se spíš nevěřícně dívám, jako na pískoviště hvězd na noční obloze.

Znamená to přinejmenším, že možných obrazů, a nejen těch digitálních, je prakticky nekonečno.

Abychom mohli pochopit zákonitosti, podle nichž tyto principy fungují je dobře začít s nejmenšími možnými obrazy. Ukáže se, že počet variací má co do činění s faktoriálem.

V případě obrázku velkého dva pixely, z nichž má každý jinou barvu, existují dvě možnosti zkombinování:

 

Na tom lze pozorovat důležitou věc: faktoriál zakládá a rozlišuje variace na základě pořadí prvků.

Což ovšem znamená, že těch prostorově skladebních možností je ve skutečnosti mnohem více. Lze si například představit, že by faktoriály daly aplikovat na studium molekul nebo konkrétně na pořadí atomů v těchto strukturách (i když tvar molekul ovlivňuje a omezuje navíc mnoho jiných faktorů. Jsem si vědom, že to není moc realistická úloha, ale slouží jako průzor do složitosti světa, pokud by to bylo třeba). I když mnoho tvarů lze na základě pořadí odlišovat, často se dají také různými způsoby skládat prostorově – například jako ve velmi schématické níže uvedené ilustraci – a přitom se pořadí nemění. To znamená, že příroda může mít – a bezpochyby má – ještě větší svobodu vytváření variací, než jsme schopni vyjádřit faktoriály. Vzhledem k číslům, která se už vyskytují jen u faktoriálů, je to samo o sobě udivujícím faktem.

 

Ale pro případ čtverečného pole pixelů je zcela adekvátní zůstat u informací, které nám jsou faktoriály schopny poskytnout a které jsou navíc velmi přesné.

Vezměme si další jednoduchý případ obrazu o 4 pixelech, který by byl ve skutečnosti skoro neviditelný. Vložil jsem skutečný čtyř-pixelový obrázek pod tímto odstavcem mezi uvozovky, abyste jej mohli najít. Není větší než tečka na konci věty. Uvádím jej zde, aby bylo jasné, na jak minimalistické úrovni složitosti ve skutečnosti operujeme. A přitom s jakými překvapivými čísly.

  “„

Proto v následujících odstavcích budeme pracovat sice s pojmem čtyřpixelového obrazu, ale značně jeho zobrazení zvětšíme.

Kolik je možných kombinací čtyř jinak barevných pixelů? Tak si je vykreslíme, jeden po druhém.

 

Je jich 24.

Což se rovná, jak se dalo čekat, 4! neboli: (4 × 3 × 2 × 1 = 24).

Krásné na tom je, že i takto minimalistické obrazy (méně informací už snad ani do obrazu vměstnat nelze) se od sebe v něčem podstatně liší: mají každý vlastní charakter.

U podobných úloh můžeme všeobecně konstatovat, že u obrazu s n pixely, kde každý pixel má jinou barvu, existuje n! jejich možných kombinací.

Jako další příklad: pro obrázek o 3 pixelech existuje 3! kombinací, jinými slovy 3 × 2 × 1 (teda 6 kombinací). Všimněme si, že záleží jen na pořadí, ne na formě, do které nalijeme pixely. Pixely nemusí (a v tomto případě nemohou) například mít formu čtverce. Stačí, že jsou zařazené po sobě.

 

Na následujících obrázcích se pokusím názorně dokázat, že u faktoriálů opravdu jde o kombinace definované pořadím prvků. Vždy jsou to 4 pixely, které lze zkombinovat 24 způsoby, ale nemusejí být nutně rozloženy ve tvaru čtverců. Z pohledu faktoriálů jsou stejné, když mají pořadí stejné .

Co se ale stane, když máme několik pixelů totožné barvy? Dochází k duplikaci obrázků, ale ukáže se, že i tyhle případy lze přesně kalkulovat. Níže vidíme všechny možné kombinace čtyřpixelových obrázků s dvěma stejnobarevnými pixely. Všimněme si, že se opakují dvakrát (v tomto konkrétním případě se vyskytuje každá kombinace dvakrát, ale v jiných případech se to může stát jen u některých kombinací):

 

Rozlišitelných, jedinečných kombinací je tedy 12:

 

S trochou experimentování zjistíme, že pro kalkulaci počtu můžeme použít níže uvedený vzorec, pokud máme obraz s několika stejnobarevnými pixely/prvky:

n! / (n₀! × n₁! × n₂!....),

kde očíslované n pod dělící čárou jsou počty stejnobarevných pixelů jednotlivých barev.

V tom případě se situace dá vyjádřit takto:

4! (pixely celkem) / 2! (červené pixely) = 12 (kombinací).

Co když jsou ve čtyřpixelovém obrázku 2 pixely jedné barvy a 2 pixely nějaké jiné barvy?

Použitím našeho vzorce dostaneme jasnou odpověď:

4! (pixely celkem) / (2! (červené pixely) × 2! (zelené pixely)) = 6 (kombinací).

Graficky to odpovídá:

 

Když máme tři stejnobarevné pixely, lze výpočet provést podobným způsobem:

4! / 3! = 4:

 

Co když máme čtyři červené pixely? Pak existuje jedna možnost jejich kombinace (4! / 4! = 1):

 

A co třeba tyto obrázky? Už bychom je mohli označit za skutečné obrazy, i když velmi malé.

 

Zvětšíme-li je, vypadají, myslím, poměrně pěkně a zajímavě:

Začneme tedy s rozborem toho prvního:

Má celkem 25 pixelů. Kdyby byl každý odlišný, bylo by možné je zkombinovat 25! způsoby (1,551121... × 10²⁵). Jelikož ale máme některé pixely, které barvu sdílejí, je situace opět jiná a dá se vyjádřit nám známým způsobem:

25! (pixely celkem) / 2! (červené pixely) × 5! (žlutých pixelů) × 2! (světle fialové pixely) × 3! (světlé modré pixely) × 2! (středně modré pixely) × 2! (oranžové pixely) × 2! (nachové pixely) × 7! (šedých pixelů),

což se rovná:

7,1241228... × 10¹⁷ možných kombinací.

Z čehož vyplývá, že je možné tyto pixely zkombinovat počtem způsobů, který se rovná více než sedmnáctimístnému číslu. Zkrátka už tak malý obraz vydá na množství kombinací a variací, které je až šokující.

Co ten druhý obrázek?

Má celkem 16 pixelu, totiž 16! kombinací (2,092279 × 10¹³) V tomto případě, vzhledem k sdíleným barvám, to bude ale méně, a konkrétně:

16! / (3! ×2! × 3! × 2!),

což se rovná 145297152000 kombinací pixelů.

A co obrázek s 9 pixely? Teda v maximalistickém pojetí má 9! čili 362880 kombinací.

V tomto případě ale kvůli sdílení barev:

9! / 3!, což se rovná se 60480 kombinací pixelů.

Mimochodem, kalkulačka na Googlu je schopna vypočítat faktoriály patrně alespoň do 100!, a proto se dá používat na testování uvedených případů.